Форма входа

доллар +1.83 евро +3.67
...
прогноз на 5 дней
10 oCоблачно с прояснениями
wishlist 0 Список избранного

Одночлен

date 27 декабря 2021 12:34
eye 84
comment 0

Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также всевозможные составленные из них произведения.

Озвученное определение позволяет привести примеры одночленов. Каждое из чисел 1, 7, 1 002, 0, −1, −7, 0,8, 1/4,  - это одночлен. Любая переменная, к примеру, a, b, p, q, t, x, y, z – это тоже одночлены по определению. Одночленами являются и степени чисел и переменных, например, 23, (−3,41)7, x2 и t115. Но наиболее яркими представителями одночленов являются произведения чисел, переменных и их степеней: 5·x, 7·(−3)·x·y3·6, x·x·y3·x·y2·z и т.п. Из приведенных примеров видно, что в составе одночлена может быть как одно, так и несколько чисел, как одна, так и несколько переменных и их степеней, причем они могут повторяться.

До 7 класса в школе были изучены натуральные, целые и рациональные числа, они и фигурируют в приведенных выше примерах одночленов. Однако нужно заметить, что определение одночлена в указанной формулировке остается в силе после знакомства с действительными числами и комплексными числами. Так , 2·π·x3 и  - это тоже одночлены.

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. 

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4 ⋅ a ,   − 9 ⋅ x 2 ⋅ y 3     ,   2 3 5 ⋅ x 7 4·a, −9·x2·y3  , 235·x7. Сюда же можно отнести выражение x ⋅ y x·y (здесь коэффициент будет равен 1 1), − x 3 −x3 (тут коэффициент равен − 1 -1). Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 ⋅ a ⋅ a 2 ⋅ a 3 4·a·a2·a3  (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 ⋅ x ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 ⋅ y 2 5·x·(−1)·3·y2 (тут нужно объединить слева числовые множители). Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись 6 ⋅ a ⋅ b 4 ⋅ c ⋅ z 2 6·a·b4·c·z2, чем b 4 ⋅ 6 ⋅ a ⋅ z 2 ⋅ c b4·6·a·z2·c.  Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления. Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. 

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от 0 , то его степень будет нулевой.

Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью. Приведем примеры степеней одночлена. Пример 1 Так, одночлен a a имеет степень, равную 1 1, поскольку a = a 1 a= a1 . Если у нас есть одночлен 7 ,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от 0. А вот запись 7 ⋅ a 2 ⋅ x ⋅ y 3 ⋅ a 2 7·a2·x·y3·a2 будет одночленом 8-й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 2+1+3+2=8.

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. 

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду. Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Так, в выражении 8 ⋅ a 3 8·a3 коэффициентом будет число 8 8, а в ( − 2 , 3 ) ⋅ x ⋅ y ⋅ z (−2,3)·x·y·zим будет − 2 , 3 −2,3. Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен 1 1, например, в выражениях a , x ⋅ z 3 , a ⋅ t ⋅ x a, x·z3, a·t·x, поскольку их можно рассматривать как как 1 ⋅ a , x ⋅ z 3 1·a, x·z3 – как 1 ⋅ x ⋅ z 3 1·x·z3 и т.д. Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом − 1 -1.

Например, такой коэффициент будет у выражений − x , − x 3 ⋅ y ⋅ z 3 −x, −x3·y·z3 , поскольку они могут быть представлены как − x = ( − 1 ) ⋅ x , − x 3 ⋅ y ⋅ z 3 = ( − 1 ) ⋅ x 3 ⋅ y ⋅ z 3 −x=(−1)·x, −x3·y·z3=(−1)·x3·y·z3 и т.д. Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 9*9 будет равен 9.

Одночлены называются подобными, если они отличаются только коэффициентом (или вовсе не отличаются), а переменные и их степени полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным; его коэффициенты получаются соответственно сложением или вычитанием коэффициентов исходных одночленов.

В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они полезны, например, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё естественно рассматривать одночлены с рациональными степенями.

Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей, операции над одночленами выполняются аналогично числовым одночленам.

 

comment Отзывы


Блогеры

Список избранного