Форма входа

доллар +1.83 евро +3.67
...
прогноз на 5 дней
10 oCоблачно с прояснениями
wishlist 0 Список избранного

Многочлен

date 27 декабря 2021 13:51
eye 151
comment 0

Многочлен — это сумма одночленов.

Одночлен — алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя на одну или нескольких переменных, взятых каждая в натуральной степени.

Примеры многочленов: 1) 15a2b3−8a2; 2) −4xy2+a−3; 3) 2a2y+(−6ya). Соответственно, выражение ab не является многочленом.

Члены многочлена — одночлены, входящие в его состав.  Многочлен −4xy2+a−3 состоит из трёх членов: −4xy2, a и −3.

Каждый член многочлена, как любой одночлен, имеет коэффициент и степень.

Удобнее выполнять действия с многочленами, записанными в стандартном виде. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно:

1) каждый его член (одночлен) записать в стандартном виде;

2) сложить подобные члены (одночлены), входящие в его состав. Эта операция называется приведением подобных членов.

Напомним, что одночлены называются подобными, если в стандартном виде имеют одинаковую буквенную часть. Подобные одночлены можно складывать, при этом нужно найти сумму их коэффициентов и дописать к ней общую буквенную часть.

Пример: запиши в стандартном виде многочлен ab2⋅15+20a2bb−32⋅2ab+16−7ab2a−4.

 Решение:

 1) приведём каждый одночлен, входящий в состав многочлена, к стандартному виду:

ab2⋅15+20a2bb−32⋅2ab+16−7ab2a−4 = 15ab2+20a2b2−18ab+16−7a2b2−4;

 2) подчеркнём и сложим подобные члены:

 15ab2+20a2b2−18ab+16− 7a2b2− 4 = 15ab2+13a2b2−18ab+12;

 3) теперь запишем одночлены по порядку (от большей степени к меньшей):

15ab2+13a2b2−18ab+12 = 13a2b2+15ab2−18ab+12.

Степень многочлена в стандартном виде равна самой большой из степеней одночленов в его составе.

Какова степень многочлена 13a2b2+15ab2−18ab+12? Сначала найдём степень каждого его члена. Многочлен имеет четвёртую степень.

Свойства многочленов:
1.Одночлены можно менять местами, не забывая ставить соответствующие знаки числовых коэффициентов, которые относятся к ним.
2.Прибавление нуля не изменит его значения
3.Если мы приведем подобные члены, значение выражения не изменится
4.Если мы прибавим и отнимем один и тот же одночлен или число, значение выражения не изменится
5.Одночлен в многочлене можно разложить на два подобных одночлена, чтобы при сумме они давали первоначальное значение.

 

Сложение и вычитание многочленов
При сложении и вычитании многочленов нужно пользоваться правилами раскрытия скобок.

Заданы многочлены x 2 + 5 ⋅ x + 2 x2+5·x+2 и x 2 − 5 ⋅ x + 3 x2−5·x+3. Необходимо найти их сумму и разность.

Решение

Первым действием найдем сумму исходных многочленов.

Запишем ее: (x 2 + 5 ⋅ x + 2) + (x 2 − 5 ⋅ x + 3) (x2+5·x+2) +(x2−5·x+3).

Раскроем скобки и получим: x 2 + 5 ⋅ x + 2 + x 2 − 5 ⋅ x + 3 x2+5·x+2+x2−5·x+3.

Чтобы привести полученный многочлен к стандартному виду, совершим действие приведения подобных членов: 2 ⋅ x 2 + 5 2·x2+5.

Кратко решение оформляется так: (x 2 + 5 ⋅ x + 2) + (x 2 − 5 ⋅ x + 3) = x 2 + 5 ⋅ x + 2 + x 2 − 5 ⋅ x + 3 = (x 2 + x 2) + (5 ⋅ x − 5 ⋅ x) + (2 + 3) =

2 ⋅ x 2 + 5 (x2+5·x+2) +(x2−5·x+3) = x2+5·x+2+x2−5·x+3= (x2+x2) +(5·x−5·x) +(2+3) = 2·x2+5

Произведем вычитание многочленов:

(x 2 + 5 ⋅ x + 2) − (x 2 − 5 ⋅ x + 3) = x 2 + 5 ⋅ x + 2 − x 2 + 5 ⋅ x − 3 = ( x 2 − x 2 ) + ( 5 ⋅ x + 5 ⋅ x ) + ( 2 − 3 ) =

10 ⋅ x − 1 (x2+5·x+2)−(x2−5·x+3)= x2+5·x+2−x2+5·x−3= (x2−x2)+(5·x+5·x)+(2−3)= 10·x−1

Ответ:

(x 2 + 5 ⋅ x + 2 ) + ( x 2 − 5 ⋅ x + 3 ) = 2 ⋅ x 2 + 5 (x2+5·x+2)+(x2−5·x+3)=2·x2+5

и (x 2 + 5 ⋅ x + 2 ) − ( x 2 − 5 ⋅ x + 3 ) = 10 ⋅ x − 1 (x2+5·x+2)−(x2−5·x+3)=10·x−1.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно: каждый одночлен первого многочлена умножить на каждый одночлен второго многочлена;
полученные произведения сложить (то есть записать друг за другом с учетом знаков полученных при умножении).

(a − b)(−a − 2) = a · (−a) − 2a + ab + 2b = −a2 − 2a + ab + 2b

(a2 + ab + b2)(a − b) = a2 · a − a2 · b + ab · a − ab · b + b2 · a − b2 · b =
 a2 + 1 − a2b + a1 + 1 b − ab1 + 1 + b2a − b2 + 1 = a3 − a2b + a2b − ab2 + ab2 − b3 = a3 − b3

Результат умножения многочлена на многочлен будет всегда многочленом.

Деление многочленов уголком

Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида

Pn(x)=ni=0aixni=a0xn+a1xn1+a2xn2++an1x+an.

Например, выражение 4x14+87x2+4x11 есть многочлен, степень которого равна 14. Его можно обозначить так: P14(x)=4x14+87x2+4x11.

Коэффициент a0 называют старшим коэффициентом многочлена Pn(x). Например, для многочлена 4x14+87x2+4x11 старший коэффициент равен 4 (число перед x14). Число an называют свободным членом многочлена Pn(x). Например, для 4x14+87x2+4x11 свободный член равен (11). Теперь обратимся к теореме, на которой, собственно говоря, и будет основано изложение материала на данной странице.

Для любых двух многочленов Pn(x) и Gm(x) можно найти такие многочлены Qp(x) и Rk(x), что будет выполнено равенство

Pn(x)=Gm(x)Qp(x)+Rk(x)(1)

причём k<m.

Словосочетание "разделить многочлен Pn(x) на многочлен Gm(x)" означает "представить многочлен Pn(x) в форме (1)". Будем называть многочлен Pn(x) – делимым, многочлен Gm(x) – делителем, многочлен Qp(x) – частным от деления Pn(x) на Gm(x), а многочлен Rk(x) – остачей от деления Pn(x) на Gm(x). Например, для многочленов P6(x)=12x6+3x5+16x4+6x3+8x2+2x+1 и G4(x)=3x4+4x2+2 можно получить такое равенство:

12x6+3x5+16x4+6x3+8x2+2x+1=(3x4+4x2+2)(4x2+x)+2x3+1

Здесь многочлен P6(x) является делимым, многочлен G4(x) – делителем, многочлен Q2(x)=4x2+x – частным от деления P6(x) на G4(x), а многочлен R3(x)=2x3+1 – остатком от деления P6(x) на G4(x). Замечу, что степень остатка (т.е. 3) меньше степени делителя, (т.е. 4), посему условие равенства (1) соблюдено.

Если Rk(x)0, то говорят, что многочлен Pn(x) делится на многочлен Gm(x) без остатка. Например, многочлен 21x6+6x5+105x2+30x делится на многочлен 3x4+15 без остатка, так как выполнено равенство:

21x6+6x5+105x2+30x=(3x4+15)(7x2+2x)

Здесь многочлен P6(x)=21x6+6x5+105x2+30x является делимым; многочлен G4(x)=3x4+15 – делителем; а многочлен Q2(x)=7x2+2x – частным от деления P6(x) на G4(x). Остаток равен нулю.

Чтобы разделить многочлен на многочлен часто применяют деление "столбиком" или, как его ещё называют, "уголком". Реализацию этого метода разберём на примерах.

Перед тем, как перейти к примерам, я введу ещё один термин. Он не является общепринятым, и использовать его мы будем исключительно для удобства изложения материала. До конца этой страницы будем называть старшим элементом многочлена Pn(x) выражение a0xn. Например, для многочлена 4x14+87x2+4x11 старшим элементом будет 4x14.

Пример №1

Разделить 10x5+3x412x3+25x22x+5 на 5x2x+2, используя деление "столбиком".

Решение

Итак, мы имеем два многочлена, P5(x)=10x5+3x412x3+25x22x+5 и G2(x)=5x2x+2. Степень первого равна 5, а степень второго равна 2. Многочлен P5(x) – делимое, а многочлен G2(x) – делитель. Наша задача состоит в нахождении частного и остатка. Поставленную задачу будем решать пошагово. Будем использовать ту же запись, что и для деления чисел:

деление столбиком

Первый шаг

Разделим старший элемент многочлена P5(x) (т.е. 10x5) на старший элемент многочлена Q2(x) (т.е. 5x2):

10x55x2=2x52=2x3.

Полученное выражение 2x3 – это первый элемент частного:

деление столбиком

Умножим многочлен 5x2x+2 на 2x3, получив при этом:

2x3(5x2x+2)=10x52x4+4x3

Запишем полученный результат:

деление столбиком

Теперь вычтем из многочлена 10x5+3x412x3+25x22x+5 многочлен 10x52x4+4x3:

10x5+3x412x3+25x22x+5(10x52x4+4x3)=5x416x3+25x22x+5

Этот многочлен допишем уже под чертой:

деление столбиком

На этом первый шаг заканчивается. Тот результат, что мы получили, можно записать в развёрнутой форме:

10x5+3x412x3+25x22x+5=(5x2x+2)2x3+5x416x3+25x22x+5

Так как степень многочлена 5x416x3+25x22x+5 (т.е. 4) больше степени многочлена 5x2x+2 (т.е. 2), то процесс деления надобно продолжить. Перейдём ко второму шагу.

Второй шаг

Теперь уже будем работать с многочленами 5x416x3+25x22x+5 и 5x2x+2. Точно так же, как и на первом шаге, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. 5x4) на старший элемент второго многочлена (т.е. 5x2):

5x45x2=x42=x2.

Полученное выражение x2 – это второй элемент частного. Прибавим к частному x2

деление столбиком

Умножим многочлен 5x2x+2 на x2, получив при этом:

x2(5x2x+2)=5x4x3+2x2

Запишем полученный результат:

деление столбиком

Теперь вычтем из многочлена 5x416x3+25x22x+5 многочлен 5x4x3+2x2:

5x416x3+25x22x+5(5x4x3+2x2)=15x3+23x22x+5

Этот многочлен допишем уже под чертой:

деление столбиком

На этом второй шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

10x5+3x412x3+25x22x+5=(5x2x+2)(2x3+x2)15x3+23x22x+5

Так как степень многочлена 15x3+23x22x+5 (т.е. 3) больше степени многочлена 5x2x+2 (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к третьему шагу.

Третий шаг

Теперь уже будем работать с многочленами 15x3+23x22x+5 и 5x2x+2. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. 15x3) на старший элемент второго многочлена (т.е. 5x2):

15x35x2=3x21=3x1=3x.

Полученное выражение (3x) – это третий элемент частного. Допишем к частному 3x

деление столбиком

Умножим многочлен 5x2x+2 на (3x), получив при этом:

3x(5x2x+2)=15x3+3x26x

Запишем полученный результат:

деление столбиком

Теперь вычтем из многочлена 15x3+23x22x+5 многочлен 15x3+3x26x:

15x3+23x22x+5(15x3+3x26x)=20x2+4x+5

Этот многочлен допишем уже под чертой:

деление столбиком

На этом третий шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

10x5+3x412x3+25x22x+5=(5x2x+2)(2x3+x23x)+20x2+4x+5

Так как степень многочлена 20x2+4x+5 (т.е. 2) равна степени многочлена 5x2x+2 (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к четвёртому шагу.

Четвёртый шаг

Теперь уже будем работать с многочленами 20x2+4x+5 и 5x2x+2. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. 20x2) на старший элемент второго многочлена (т.е. 5x2):

20x25x2=4x22=4x0=4.

Полученное число 4 – это четвёртый элемент частного. Допишем к частному 4

деление столбиком

Умножим многочлен 5x2x+2 на 4, получив при этом:

4(5x2x+2)=20x24x+8

Запишем полученный результат:

деление столбиком

Теперь вычтем из многочлена 20x2+4x+5 многочлен 20x24x+8:

20x2+4x+5(20x24x+8)=8x3

Этот многочлен допишем уже под чертой:

деление столбиком

На этом четвёртый шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

10x5+3x412x3+25x22x+5=(5x2x+2)(2x3+x23x+4)+8x3

Так как степень многочлена 8x3 (т.е. 1) меньше степени многочлена 5x2x+2 (т.е. 2), то процесс деления завершён. Частным от деления многочлена P6(x) на многочлен G2(x) есть многочлен Q3(x)=2x3+x23x+4. Остаток от деления P6(x) на G2(x) – это многочлен R1(x)=8x3. По сути, мы представили исходный многочлен P6(x) в форме (1):

P6(x)=G2(x)Q3(x)+R1(x)

Ответ: частное от деления – многочлен 2x3+x23x+4, остаток – многочлен 8x3.

Пример №2

Разделить 4x3+2x11 на x+5, используя деление "столбиком".

Решение

Здесь можно использовать схему Горнера (и это было бы несколько менее громоздко). Однако для сугубо демонстрационных целей используем деление "столбиком". Подробные пояснения есть в примере №1, посему здесь укажем только ход решения.

деление столбиком

Результат можно записать в такой форме:

4x3+2x11=(x+5)(4x220x+102)521

Следовательно, частным от деления 4x3+2x11 на x+5 является многочлен 4x220x+102, а остаток есть число (521) (по сути, это многочлен нулевого порядка).

Ответ: частное – многочлен 4x220x+102, остаток – число 521.

Пример №3

Разделить 7x3+9x25x+9 на 5x7+10x617x2+14x7.

Решение

Степень делителя (т.е. многочлена 5x7+10x617x2+14x7) равна 7. Степень делимого (многочлена 7x3+9x25x+9) равна 3. В этом ситуации, когда степень делителя больше степени делимого (7>3) разложение вида (1) возможно лишь в такой форме:

7x3+9x25x+9=0(5x7+10x617x2+14x7)+7x3+9x25x+9

Ответ: частное есть 0, остаток – многочлен 7x3+9x25x+9.

comment Отзывы


Блогеры

Список избранного